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By Oliver Deiser

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Erste Hilfe in Analysis: Überblick und Grundwissen mit vielen Abbildungen und Beispielen

Das Buch wendet sich an Studienanfänger der Mathematik im Fach- und Lehramtsstudium. Es möchte den Übergang von der Schule zur Universität erleichtern und wertvolle Hilfestellungen während der ersten Fachsemester bieten. Es eignet sich als Begleittext einer einführenden Analysis-Vorlesung und zur Prüfungsvorbereitung.

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Für alle reellen Zahlen x und y gilt: y = cos(x) genau dann, wenn es gibt ein a ∈ ‫ ޚ‬mit x = arccos(y) + a 2 π. 30 1. Grundlegendes 1. 9 Bild und Urbild Definition (Bild, Urbild) Sei f : A → B eine Funktion, und seien X ⊆ A und Y ⊆ B. Dann setzen wir: f [ X ] = f(X) = { f(x) | x ∈ X }, f −1 [ Y ] = f −1 (Y) = { x ∈ A | f(x) ∈ Y }. Die Menge f [ X ] heißt das Bild von X, die Menge f −1 [ Y ] das Urbild von Y unter f. f Y f f [X] X f −1 [ Y ] ist die Vereinigung der grauen Intervalle. Das Bild f [ X ] ist also eine Menge von Funktionswerten und damit eine Teilmenge des Wertebereichs von f.

Damit ist insbesondere ‫ ށ‬eine echte Obermenge von ‫ޑ‬. (3) Allgemeiner als (2) sind alle reellen Lösungen von Gleichungen zweiten Grades x2 + b x + c = 0 mit rationalen Koeffizienten b und c algebraisch. Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen sind dies im Fall einer nichtnegativen Diskriminante b2 − 4c genau die Zahlen −b ± ͙b2 − 4 c x1, 2 = . 2 (4) Die Lösungen von x5 + 3 x 4 − 2 x 2 + x − 1 = 0 sind algebraisch. Das obige Diagramm zeigt den Graphen des zugehörigen Polynoms f : ‫ޒ → ޒ‬, f(x) = x5 + 3 x4 − 2 x2 + x − 1 für alle x.

7) π = sup({ 3 ; 3,1 ; 3,14 ; 3,141 ; 3,1415 ; … }). Beispiele für den Körper der rationalen Zahlen (1) − (5) gelten in ‫ ޑ‬genau wie in ‫ޒ‬, aber sup({ x ∈ ‫ | ޒ‬x2 < 2 }), inf({ x ≥ 0 | x2 ≥ 2 }), sup({ 3 ; 3,1 ; 3,14 ; 3,141 ; … }) existieren nicht in ‫ޑ‬. Um zu beweisen, dass s das Supremum von X ist, kann man zeigen: (S1) Sei x ∈ X. Dann gilt x ≤ s. (S2) Sei s′ derart, dass x ≤ s′ für alle x ∈ X. Dann gilt s ≤ s′. Zum Beweis von (S1) betrachtet man ein beliebiges x ∈ X und zeigt x ≤ s. Zum Beweis von (S2) nimmt man dagegen an, dass ein s′ ∈ K vorliegt, das größer oder gleich jedem Element x von X ist.

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