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By Martin Goldstern

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Ani πωi b1 . . bni . 4 Was heißt es, dass eine Funktion wohldefiniert ist? Wenn wir eine Funktion f auf einer Menge X durch eine Rechenvorschrift (etwa einen Term) t definieren, also f (x) := t(x) setzen, dann bedeutet das Wort wohldefiniert“ nur soviel, dass die Rechenvorschrift t tats¨ achlich f¨ ur jede Eingabe x ein Resultat t(x) ” ausgibt. Wenn wir aber f durch eine Formel (∗) f (t1 (x)) := t2 (x) definieren, enth¨ alt diese Definition“ implizit die Behauptung, dass es tats¨ achlich eine Funktion gibt, die ” jedem Element der Form t1 (x) das Element t2 (x) zuordnet.

H(an )) Beweis. Sei bi := h(ai ). Die Abbildung ϕb ist ein Homomorphismus von T(x1 , . . , xn ) nach B, ebenson wie die Abbildung h ◦ ϕa . Da diese beiden Homomorphismen auf der Erzeugendenmenge von T(x1 , . . , xn ) u ¨bereinstimmen, stimmen sie auf der ganzen Termalgebra u ¨berein, insbesondere an der Stelle t: h(ϕa (t)) = ϕb (t). 1 Definition. Ein Gesetz“ ist eine allquantifizierte4 Gleichung zwischen Termen. ) Sei Γ eine Menge von Gesetzen. Mit Mod(Γ) bezeichnen wir die Klasse aller Algebren, die alle Gesetze in Γ erf¨ ullen.

34 Satz. Sei G Gruppe, U Untergruppe mit [G : U ] = 2. Dann gilt U ⊳ G. Beweis. x ∈ U ⇒ xU = U x = U . x ∈ / U ⇒ xU = U x = G \ U . 35 Anmerkung. Auch f¨ ur Vektorr¨aume gilt ein ¨ahnliches Ergebnis wie f¨ ur Gruppen: Durch π → [0]π ist eine umkehrbar eindeutige Zuordnung von der Menge aller Kongruenzrelationen des Vektorraumes (V, +, 0, −, K) auf die Menge aller Unterr¨aume von V definiert (Beweis wie bei Gruppen). Ist U Unterraum von V , so ist V /U = {x + U | x ∈ V } (Faktorraum) mit den Operationen (x + U ) + (y + U ) = (x + y) + U , 0 + U = U (neutrales Element), −(x + U ) = (−x) + U , λ(x + U ) = (λx) + U , x, y ∈ V , λ ∈ K.

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